Математический анализ

1. Понятие матрицы.  Транспонирование матрицы. Равенство матриц.  Виды матриц. 

2. Определители второго и третьего порядков .Формулы для их вычисления и   свойства.

3. Миноры, алгебраические дополнения. Основное свойство (теорема Лапласа) о разложении определителя по элементам строки или  столбца.

4. Матрица, обратная данной. Алгоритм  и формула вычисления обратной матрицы. Матричные уравнения , (вывод решения).

5. Система  линейных уравнений с n переменными (общий вид СЛУ). Матричная форма записи такой системы. Определение решения системы. Определения совместных и несовместных,  определенных и неопределенных систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

6. Решение систем  линейных уравнений с  переменными с помощью обратной матрицы (вывод формулы для из матричного уравнения ).

7. Теорема  Крамера (формулы Крамера)  решения системы   линейных уравнений с  переменными .

8. Метод Гаусса решения системы  линейных уравнений с  переменными для определенных систем.

9. Метод Гаусса решения системы  линейных уравнений с  переменными для неопределенных систем.

10. Однородные системы  линейных уравнений. Базисные и свободные переменные. Число фундаментальных решений. Фундаментальная система решений.

------------------------------------------------------------------------------------------------------

11. Векторы. Операции над  векторами . Длина вектора. Орт вектора. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы вектора в трехмерном пространстве.

12.  Собственные значения и векторы матрицы.

13. Квадратичные формы. Приведение к каноническому виду.

14. Определение скалярного произведения двух векторов. Формула для нахождения угла между векторами. Формула для вычисления скалярного произведения векторов в координатной форме. Свойства скалярного произведения.

15. Понятие правой тройки векторов. Определение векторного произведения двух векторов. Формула для вычисления векторного произведения векторов в координатной форме. Свойства векторного произведения. Геометрический смысл модуля векторного произведения.

16. Определение смешанного произведения  трех векторов. Выражение смешанного произведения через координаты. Свойства смешанного произведения. Геометрический смысл модуля смешанного произведения.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

17,18,19,20. Различные виды уравнений прямой на плоскости:

 -уравнение с угловым коэффициентом, общее уравнение, определение нормального вектора прямой на плоскости;

 - уравнение прямой, проходящей через две заданные точки;

 - уравнения параметрическое и каноническое, определение направляющего вектора прямой на плоскости;

 - уравнение прямой в отрезках, векторное уравнение, полярное уравнение, нормальное уравнение прямой.

 Геометрический смысл коэффициентов в уравнениях прямой.

 Переход из одного вида уравнения в другой.

21. Угол между прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости, заданных общими или каноническими уравнениями или уравнениями с угловым коэффициентом.  Расстояние от точки до прямой на плоскости.

 22 , 23, 24, 25.  Уравнение поверхности в пространстве. Уравнение плоскости.

- уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору;

- общее уравнение плоскости; геометрический смысл коэффициентов в уравнении плоскости, определение нормального вектора плоскости;

- уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки;

- уравнение плоскости в отрезках; нормальное уравнение плоскости.

Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.

26, 27, 28. Уравнение линии в пространстве. Прямая в трехмерном пространстве. Различные виды прямой в пространстве.

- параметрическое и каноническое уравнения; геометрический смысл коэффициентов в уравнениях прямой в пространстве, определение направляющего вектора прямой в пространстве;

 - уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки;

 - общее уравнение прямой в пространстве (как линии пересечения плоскостей); определение направляющего вектора прямой в пространстве;

 -  векторное уравнение)

Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.

29.Угол между прямой на плоскости и плоскостью в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности их в пространстве. Пересечение прямой с плоскостью.  Условие принадлежности прямой плоскости.

30,31,32,33. Кривые второго порядка:

- окружность (с указанием уравнения, формы, эксцентриситета).

- эллипс (определение, каноническое уравнение, эксцентриситет, уравнения директрис,  чертеж, директориальное свойство);виды эллипса.

- гипербола (определение, каноническое уравнение, эксцентриситет, уравнения директрис, асимптот, чертеж, директориальное свойство); виды гипербол

- парабола (определение, каноническое уравнение, эксцентриситет, уравнение директрисы, чертеж, директориальное свойство); виды парабол.

 34.Определение функции, понятие аргумента (независимой переменной), зависимой переменной, способы задания,. Функции: четные, нечетные, монотонные, периодические, ограниченные. Обратная функция, сложная функция, неявно заданная функция.

35. Комплексные числа. Формы комплексного числа. Операции над комплексными числами.

36.Предел функции  в точке при , при.Односторонние пределы. Бесконечно большая функция.

37. Бесконечно малая функция.(б.м.ф.). Свойства бесконечно малой функции. Теорема о произведении б.м.ф. на ограниченную.

38.( Определение предела функции в точке.) Основные теоремы о пределах .

40. Признаки существования пределов (о пределе промежуточной фукции; о пределе монотонной функции).

41. Первый замечательный предел. Следствие. 

42. Второй замечательный предел, число e.  Понятие о натуральных логарифмах.

43.  Определение эквивалентных функций. Применение эквивалентных бесконечно малых функций 

     - при вычислении пределов;

     -при приближенных вычислениях.

Таблица эквивалентных функции.

45. Определение непрерывности функции в точке , на промежутке, на отрезке. Точки разрыва функции и их классификация.

46,47. Основные теоремы о непрерывных функциях (арифм.действия, о непрерывности сложной функции). Непрерывность элементарных функции. Свойства функций,  непрерывных на   отрезке (Теоремы Вейерштрасса, теоремы Больцано-Коши). Геометрический смысл теорем. Примеры. 

48. Производная функции одной переменной и ее геометрический смысл. Таблица производных.

49.Уравнение  касательной, уравнение нормали  к плоской кривой в заданной точке.

50. Дифференцируемость функции одной переменной. Связь между  дифференцируемостью и непрерывностью функции. Привести пример непрерывной, но не дифференцируемой функции.

51. Основные правила дифференцирования функции одной переменной , схема вычисления производной.   Производная обратной функции. Производная сложной функции.

52. (Первая) производная функции, заданной параметрически.

53.(Первая) производная функции, заданной неявно.

54. Логарифмическое дифференцирование при нахождении первой производной показательно-степенной функции.

55. Правило Лопиталя для вычисления пределов.

56. Дифференциал функции одной переменной и его геометрический смысл. Таблица дифференциалов. Инвариантность формы дифференциала первого порядка. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

57. Теоремы Ролля, Коши и  Лагранжа . Геометрическая  интерпретация этих теорем.

58. Определение экстремума функции одной переменной. Необходимое  условие существования  экстремума .

59. Определение экстремума функции одной переменной. Достаточное условие существования экстремума .

60. Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

61. Понятие асимптоты графика функции. Горизонтальные, наклонные и вертикальные

асимптоты. Привести примеры.

62. Общая схема исследования функций и построения их графиков.